Miért jω?

A komplex számok nem „matematikai trükk" — a természet nyelve. Nélkülük a jelfeldolgozás szétesik.

e^jωt = cos(ωt) + j·sin(ωt)
Egyetlen képlet = forgás + rezgés + frekvencia + fázis

↓ Görgess ↓

01 // j = FORGÁSA j nem „képzetes" — forgást jelent

A j = √(−1) nem absztrakt matektrükk: j-vel szorozni = 90°-os forgatás a síkban. Kétszer szorozni = 180° = −1. Ezért j² = −1!

🔄 j-vel szorzás = 90° forgatás

1 (valós) ×j → j (képzetes) ×j → −1 ×j → −j ×j → 1 (vissza!)

Ez az alapfelismerés: a komplex szám = 2D vektor. A valós rész a „vízszintes", a képzetes a „függőleges" komponens. A j-vel szorzás forgatás — és a forgás a rezgés alapja!

02 // EULER-FORMULAe^jθ = cos θ + j·sin θ

Ez a matematika legszebb képlete. A komplex exponenciális egy forgó vektor az egységkörön: szöge θ, hossza 1. Az idő múlásával θ=ωt → a vektor forog!

🌀 Forgó vektor — az e^jωt élőben

ω=3

e^jωt forgó vektor cos(ωt) = Re{e^jωt} sin(ωt) = Im{e^jωt}

e^jωt = cos(ωt) + j·sin(ωt) — a cos és sin egy forgó vektor árnyéka!

Miért ez a lényeg? A cos(ωt) NEM önmagában létezik — egy forgó komplex exponenciális valós része. Ha csak a cos-t próbáljuk kezelni, a képletek bonyolultak. Ha az e^jωt-vel dolgozunk, minden egyszerű: szorzás, deriválás, szűrés.

03 // COS + JSINMiért kell a komplex alak?

Nézd meg ugyanazt a feladatot valós és komplex formában. Az e^jωt drámaian leegyszerűsít mindent.

📐 Amplitúdó + fázis: valós vs komplex

A=1.0

φ=0°

ω=4

A·cos(ωt+φ) valós jel A·e^j(ωt+φ) forgó vektor A∠φ fázor (komplex amplitúdó)

Valós alak: A·cos(ωt+φ) — a deriváltja: −Aω·sin(ωt+φ). Az integrálja: (A/ω)·sin(ωt+φ). Minden képlet más trig-fv!
Komplex alak: A·e^j(ωt+φ) — deriváltja: jω·A·e^j(ωt+φ). Integrálja: (1/jω)·A·e^j(ωt+φ). MINDIG UGYANAZ az alak!

04 // SAJÁTFÜGGVÉNYAz e^st az LTI rendszer sajátfüggvénye

Ez a LEGFONTOSABB ok: ha komplex exponenciálist küldünk egy LTI rendszerbe, UGYANAZ jön ki, csak megszorozva H(s)-sel. Ezért működik a transzformáció!

⚡ LTI rendszer + e^st = H(s)·e^st

ω=3

Bemenet: e^jωt Kimenet: H(jω)·e^jωt H(jω) = skálázás + fázisel.

Bemenet: e^jωt → LTI → Kimenet: H(jω)·e^jωt
A frekvencia NEM változik! Csak az amplitúdó (|H|) és a fázis (∠H).

Ez a kulcs! Ha bármely jelet Fourier-sorba fejt: x(t) = Σ cₖ·e^jkω₀t, akkor a kimenet: y(t) = Σ cₖ·H(jkω₀)·e^jkω₀t. Minden frekvencia-komponenst KÜLÖN kezelhetsz. Ezért „működik" a frekvenciatartomány!

05 // s = σ + jωA teljes kép: az s-sík

A Laplace-változó s = σ + jω egyszerre írja le a csillapítást (σ) és a rezgést (ω). Az e^st = e^σt·e^jωt = csökkenő/növő burok × forgás.

🗺️ Az s-sík — σ és jω együtt

σ=−2

ω=4

e^st = e^σt·e^jωt Re{e^st} = e^σt·cos(ωt) ±e^σt burok

σ < 0 : csökkenő rezgés (stabil) — bal félsík
σ = 0 : állandó rezgés (Fourier!) — jω tengely
σ > 0 : növekvő rezgés (instabil) — jobb félsík

A Fourier a Laplace speciális esete: σ=0 → s=jω → F{x(t)} = X(s)|_s=jω. A Fourier-transzformáció a jω tengelyen „metszi" a Laplace-síkot!

06 // FOURIER = VETÍTÉSX(jω) = a jel vetülete e^jωt-re

A Fourier-transzformáció = belső szorzat (korreláció) a jellel és az e^−jωt forgó vektorral. Ha az ω frekvencia „benne van" a jelben → nagy az eredmény!

🎯 Korreláció forgó vektorokkal

ω=5.0

x(t) = cos(5t)+0.6cos(12t) e^−jωt próba-vektor |X(jω)| spektrum

X(jω) = ∫ x(t)·e^−jωt dt — „mennyi van ω frekvenciából x(t)-ben?"

Az e^−jωt a „kérdező": ω-nként megkérdezi: „benne vagy a jelben?". Ha igen → az integrál nagy (konstruktív interferencia). Ha nem → az integrál ≈ 0 (destruktív).

07 // PÓLUSOKA pólus = e^st természetes rezgése

A rendszer pólusai (ahol H(s) végtelen) megmondják a természetes viselkedést: milyen e^st típusú jeleket „generál" a rendszer magától.

🎯 Pólusok az s-síkon — húzd a pólust!

σ=−1.0

ω=3.0

Pólus (s = σ+jω) h(t) impulzusválasz e^σt burok

Pólus s₀=σ+jω → h(t) ∝ e^σt·cos(ωt)
σ<0 → csökken (stabil) | σ=0 → állandó | σ>0 → NŐ (instabil)

08 // ÖSSZEFÜGGÉSEKMinden összekapcsolódik

🌐 A nagy kép — animált kapcsolatháló

1) j = forgás 90°-kal → komplex sík → 2D vektorok

2) e^jθ = cos θ + j sin θ → az egységkörön forgó vektor → a cos és sin „árnyék"

3) e^jωt az LTI sajátfüggvénye → a rendszer csak skáláz + fázist tol → frekvenciaválasz H(jω)

4) Fourier = vetítés e^−jωt-re → „mennyi van ω-ból?" → frekvencia-analízis

5) s = σ+jω: Laplace kiterjeszti → σ=0: Fourier | σ<0: csillapodó | σ>0: növekvő

6) Pólusok = a rendszer „természetes frekvenciái" → bal félsík = stabil, jobb = instabil

7) z = e^sTs → mindez diszkrét időben → egységkör belseje = stabil