Miért kell a t ?

Az e^jωt három betűjéből mindegyik nélkülözhetetlen — de a t teszi élővé az egészet

ejωt = forgás síkja × sebesség × idő

↓ Görgess ↓

01 // FÉNYKÉP VS FILMA t nélkül nincs film, csak fénykép

Az e^jω (t nélkül) egyetlen pont az egységkörön — egy befagyott pillanat. Az e^jωt (t-vel) egy forgó vektor — egy film, egy történet, egy jel.

📷 → 🎬 Kapcsold be az időt!

ω=4

t nélkül: θ = ω = fix szám → egyetlen szögpozíció → fénykép
t-vel: θ(t) = ω·t → a szög NŐ az idővel → mozgás → film

02 // j SZEREPEj adja a forgás síkját

j nélkül az e^ωt csak valós exponenciális: növekedés vagy csökkenés. Nincs rezgés, nincs hullám, nincs hang, nincs frekvencia. A j nyitja meg a második dimenziót.

🔮 j nélkül vs j-vel

ω=2

j nélkül: e^ωt → egydimenziós: csak nő vagy csökken
j-vel: e^jωt → kétdimenziós: FOROG! cos + jsin

A j a „billentyű" ami bekapcsolja a rezgést. Fizikailag: az e^jωt az egységkörön forog, az e^ωt a valós tengelyen csúszik. A természet rezeg (hang, fény, áram) → j KELL.

03 // ω SZEREPEω adja a sebességet

ω nélkül e^jt = 1 rad/s — egyetlen fix sebesség. ω-val bármilyen frekvenciát le tudsz írni: 50 Hz hálózat, 440 Hz A-hang, 150 kHz delfin-kattintás.

⏱️ Különböző ω = különböző frekvenciák

ω₁=2

ω₂=5

ω₃=9

ω = a körhinta sebessége. Kis ω = lassú forgás = mély hang. Nagy ω = gyors forgás = magas hang. De ω önmagában csak egy szám — a t kell ahhoz, hogy a forgás megtörténjen!

04 // t SZEREPEt az, ami mindent élővé tesz

A t mondja meg: hol tart a forgás ÉPPEN MOST. θ(t) = ωt — a szög folyamatosan nő. Az idő az, ami a frekvencia fogalmát történéssé, jelfeldolgozássá, zenévé teszi.

⏰ Húzd az időt! — t kézi vezérlés

t=0.00

ω=4

θ(t) = ω·t → t=0: θ=0 (start) → t nő: θ nő → a vektor forog
cos(ωt) = a forgó vektor vízszintes árnyéka → ez a mérhető jel!

A t a független változó. Minden jel t függvénye: x(t). A Fourier-transzformáció ω-ra vált, de a t mindig ott van az e^jωt-ben — az integrálon belül t szerint integrálunk!

05 // EGYÜTTe^jωt = a teljes kép

Kapcsold ki-be a három komponenst és nézd meg, mi történik! Mindhárom kell a teljes jelleíráshoz.

🎛️ Komponensek ki/be kapcsolása

ω=4

Mindhárom aktív: e^jωt — forgó vektor ω sebességgel, az idő múlásával

06 // DERIVÁLÁSI CSODAd/dt [e^jωt] = jω · e^jωt

A t teszi lehetővé a deriválást. És az e^jωt csodája: a deriválás nem változtatja meg az alakot — csak jω-val szorozza! Ezért lesznek a differenciálegyenletekből algebrai egyenletek.

✨ Deriválás = ×jω — az alak MEGMARAD

ω=3

d/dt [e^jωt] = jω · e^jωt — UGYANAZ az alak!
d²/dt² [e^jωt] = (jω)² · e^jωt = −ω² · e^jωt

Diff.egyenlet: a·d²x/dt² + b·dx/dt + c·x = 0
→ (a(jω)² + b(jω) + c)·e^jωt = 0
→ algebrai egyenlet! A t „eltűnt"!

Ha t nem lenne: nem lehetne d/dt-t írni → nincs sajátfüggvény-tulajdonság → a Laplace és Fourier nem működne → nincs frekvenciatartomány → nincs szűrőtervezés → nincs jelfeldolgozás!

07 // MI LENNE t NÉLKÜL?Összeomlás

Gondolatkísérlet: mi történne, ha a t-t kivennénk a jelfeldolgozásból?

💥 Dominó-hatás — mindent elveszítünk

Fénykép-analógia: e^jω (t nélkül) = egyetlen kép. e^jωt (t-vel) = videó. A jelek videók — hullámformák, amelyek időben fejlődnek. A t nélkül nem lenne miben fejlődni.

08 // ÖSSZEFOGLALÁSA három tag — együtt minden, külön semmi

🎯 e^jωt = a rezgés tökéletes leírása

j = a forgás síkja. Megnyitja a 2D-t. Nélküle: nincs rezgés, csak exponenciális növekedés/csökkenés.

ω = a sebesség (frekvencia). Megmondja milyen gyorsan forog. Nélküle: 1 rad/s, egyetlen frekvencia.

t = az idő (dinamika). A szöget θ=ωt-vé teszi. Nélküle: nincs mozgás, nincs jel, nincs deriválás, nincs Fourier, nincs semmi.

Együtt: e^jωt = „ω frekvenciával forgó vektor a t pillanatban" — a rezgés, a jel, a hullám, a hang, a fény matematikai DNS-e.