Laplace-transzformáció

Interaktív animációk az s-síktól a Bode-diagramig

X(s) = ∫₀∞ x(t) · e^−st dt s = σ + jω

↓ Görgess lejjebb ↓

01 // DEFINÍCIÓMit csinál a Laplace?

Differenciálegyenleteket algebrai egyenletekké alakít. Deriválás → szorzás s-sel, konvolúció → szorzás.

Válassz egy időjelet, és nézd meg, hogyan épül fel az integrálja!

σ=1.0

ω=0.0

x(t) időjel e⁻σᵗ csillapító x(t)·e⁻ˢᵗ integrandus ∫ terület → X(s)

X(s) = ∫₀∞ x(t) · e⁻ˢᵗ dt — az integrandust csökkenti az e⁻σᵗ ablak, az e⁻ʲωᵗ a frekvenciát kérdezi

Az e⁻ˢᵗ = e⁻σᵗ · e⁻ʲωᵗ — egyszerre csillapít és frekvencia-kérdez.

σ=1.0

ω=3.0

e⁻σᵗ csillapító burok cos(ωt) valós rész Re{e⁻ˢᵗ} = e⁻σᵗ·cos(ωt)

Kattints az s-síkra, hogy pólusokat helyezz el, és azonnal lásd az impulzusválaszt!

✕ Pólusok ○ Zérusok Stabil tartomány (σ<0) h(t) impulzusválasz

Klasszikus jelpárok: lásd egyszerre az időjelet és a pólusokat a síkon.

a=2.0

ω=4.0

x(t) időtartomány ✕ Pólusok ○ Zérusok

Minden racionális törtfüggvényt elemi tagok összegére bontunk — mindegyik egy-egy exponenciálist ad vissza.

1. résztört 2. résztört Összeg = h(t)

r/(s−p) ↔ r·eᵖᵗ — minden résztört egy exponenciálissá transzformálódik vissza

A Bode-diagram H(s)-t a képzetes tengelyen (s = jω) ábrázolja — amplitúdó és fázis.

ω₀=5

ζ=0.2

|H(jω)| [dB] ∠H(jω) [°] Rezonancia-csúcs

Húzd a pólusokat a síkon, és nézd valós időben, hogyan változik az impulzusválasz! Átlépve a képzetes tengelyt → instabil.

Stabil (σ<0) Határeset (σ=0) Instabil (σ>0)

Stabil ⟺ minden pólus Re(sᵢ) < 0 — a bal félsíkban van