Fourier-transzformáció

A Laplace speciális esete: ha σ = 0, csak a frekvenciát kérdezzük — interaktív animációkkal

Laplace: X(s) = ∫ x(t)·e−st dt    s = σ + jω
Fourier: X(jω) = X(s)|s=jω = ∫ x(t)·e−jωt dt    ← σ = 0!
↓ Görgess lejjebb ↓

01 // ALAPGONDOLATMinden jel szinuszokból áll

A Fourier-transzformáció megmondja, mennyi van az egyes frekvenciákból a jelben — egy „frekvencia-recept".

🎶 Jel = szinuszok összege — szétszedés animáció

Összeg = összetett jel Egyes szinusz-komponensek Amplitúdó-spektrum |X(jω)|

02 // A KAPCSOLATLaplace σ=0 → Fourier

A Laplace-transzformáció kétdimenziós: σ (csillapítás) és ω (frekvencia). A Fourier-transzformáció a σ=0 egyenes mentén értékeli ki — a képzetes tengelyen!

🗺️ Az s-sík és a képzetes tengely

Bal: |X(s)| a teljes s-síkon (3D felület). Jobb: σ=0 metszet = Fourier-spektrum!

|X(s)| felület σ=0 metszet (jω tengely) |X(jω)| = Fourier-spektrum
X(s) = ∫₀∞ x(t)·e⁻ˢᵗ dt  →  s = jω (σ=0)  →  X(jω) = ∫₋∞∞ x(t)·e⁻ʲωᵗ dt

03 // σ FOLYTONOS VÁLTOZTATÁSA csillapítás hatása

Húzd a σ csúszkát! σ>0: a csillapító ablak elnyomja a jelet. σ=0: a teljes jel marad → Fourier. σ<0: felerősíti (nem mindig konvergál!).

🎚️ e⁻σᵗ ablak: a Laplace titka

x(t) jel e⁻σᵗ ablak x(t)·e⁻ˢᵗ integrandus ∫ terület
σ = 0 → az ablak = 1 → az integrandus csak e⁻ʲωᵗ-vel szorzódik → ez a Fourier!
σ > 0 → az ablak elnyomja a jelet → a Laplace-integrál konvergál.
σ < 0 → felerősítés → az integrál divergálhat!

04 // SPEKTRUM FELÉPÍTÉSKorreláció szinuszokkal

A Fourier-transzformáció lényege: az e⁻ʲωᵗ „kérdező" szinusszal korrelálunk — ha a frekvencia benne van a jelben, nagy érték jön ki.

🔍 Szinuszkorreláció frekvenciáról frekvenciára

x(t) = jel cos(ωt) kérdező Szorzat x(t)·cos(ωt) |X(jω)| épülő spektrum
X(jω) = ∫ x(t)·e⁻ʲωᵗ dt = ∫ x(t)·[cos(ωt) − j·sin(ωt)] dt — korreláció = belső szorzat

05 // SZŰRÉSSpektrum-szorzás = konvolúció

A Fourier-spektrum szorzása a frekvenciatartományban megfelel a konvolúciónak az időben — ez a szűrés alapja!

🎛️ Interaktív szűrő: idő ↔ frekvencia párhuzamosan

Bemenet x(t) / |X(jω)| Szűrő |H(jω)| Kimenet y(t) / |Y(jω)|

06 // HATÁROZATLANSÁGI ELVΔt · Δω ≥ ½

Minél rövidebb egy jel az időben, annál szélesebb a spektruma — és fordítva. Nem lehet egyszerre pontos mindkettőben!

📏 Gauss-impulzus: szélesség-csere animáció

x(t) = Gauss az időben X(jω) = Gauss a frekvenciában Δt × Δω = konstans
x(t) = e⁻ᵗ²/²σ² → X(jω) = σ√(2π)·e⁻σ²ω²/² — ha σ↑ → széles idő, keskeny frekv. és fordítva

07 // FOURIER-SORPeriodikus jelek: diszkrét spektrum

Periodikus jeleknél a Fourier-transzformáció diszkrét vonalspektrumot ad — a Fourier-sor. Állítsd a harmonikusok számát!

🎹 Négyszögjel Fourier-sora

Célhullámforma Fourier-közelítés (N tag) |cₙ| vonalspektrum

08 // ÖSSZEFOGLALÁSA nagy kép: Laplace–Fourier család

A Fourier-transzformáció a Laplace σ=0 metszete. Az alábbi diagram interaktívan mutatja a kapcsolatot.

🗺️ s-sík: σ csúszka → Fourier a jω tengelyen

|X(σ+jω)| adott σ-nál σ=0 → Fourier-spektrum Pólus pozíció
Összefoglalva: X(jω) = X(s)|s=jω — a Fourier-transzformáció a Laplace s-síkjának képzetes tengelye mentén vett metszete. A Laplace a „teljes térkép", a Fourier a „fő útvonal rajta".