Konvolúció

Interaktív animációk az LTI rendszerek alapműveletéhez

y(t) = ∫ s(τ) · w(t − τ) dτ
↓ Görgess lejjebb ↓

01 // ALAPGONDOLATMi a konvolúció?

Bármely bemeneti jel felbontható impulzusok összegére. Mindegyik impulzus kiváltja a maga válaszát — és az eredmény ezen válaszok összege.

🎯 Impulzusválasz → Rendszer kimenet

Nyomj Play-t! Az egyes impulzusok kiváltják a rendszer impulzusválaszát (eltolva és skálázva). Ezek összege adja a kimenetet.

Bemeneti impulzusok Egyes válaszok Összeg = kimenet

02 // GRAFIKUS MÓDSZERTükrözd és csúsztasd

A konvolúció geometriája: tükrözd az impulzusválaszt, csúsztasd végig a bemeneten, minden pozícióban számold a szorzat alatti területet.

🔄 Flip & Slide animáció

s(τ) – bemenet w(t−τ) – tükrözött, csúsztatott s(τ)·w(t−τ) – szorzat y(t) – eredmény
y(t) = ∫−∞∞ s(τ) · w(t − τ) dτ — minden t-re a rózsaszín terület adja y(t) értékét

03 // DISZKRÉT ESETLépésről lépésre

Válassz jeleket, és nézd végig, hogyan épül fel a konvolúciós összeg lépésről lépésre.

📊 Diszkrét konvolúció interaktívan

s[k] w[−i] tükrözött Szorzat y[k] eredmény

04 // FOLYTONOS ESETKlasszikus jelpárok

Válassz különböző bemenet–impulzusválasz párokat, és nézd meg, hogyan alakul a konvolúció.

〰️ Folytonos konvolúció animáció

s(τ) w(t−τ) Szorzat terület y(t)

05 // TULAJDONSÁGOKKommutativitás & Delta

A konvolúció kommutatív: s*w = w*s — és a δ(t) az egységeleme.

↔️ Kommutativitás: s*w = w*s

Kattints a gombokra, és nézd meg, hogy mindkét irányban azonos az eredmény!

⚡ Delta-impulzus: s(t) * δ(t) = s(t)

A δ(t) az egységelem — konvolúció vele visszaadja az eredeti jelet.

s(t) δ(t−t₀) eredmény

06 // KONVOLÚCIÓS TÉTELIdő vs. Frekvencia

Konvolúció az időben = szorzás a frekvenciatartományban. Ez a szűrés alapja!

🔊 Szűrés = spektrum-szorzás

Felül: két jel konvolúciója az időtartományban. Alul: ugyanez a frekvenciatartományban — egyszerű szorzás!

Bemenet / spektrum Szűrő / |H(f)| Kimenet / szorzat
Idő: y(t) = x(t) * h(t)   ⟺   Frekvencia: Y(f) = X(f) · H(f)