z-transzformáció

A diszkrét idejű rendszerek Laplace-párja — interaktív animációkkal

X(z) = Σₖ x[k] · z⁻ᵏ z = r·eʲᶿ stabilitás: |z| < 1

↓ Görgess lejjebb ↓

01 // DEFINÍCIÓHatványsor z⁻¹-ben

A z-transzformáció egy számsorozatot egyetlen z-beli törtfüggvénnyé tömörít — pontosan úgy, ahogy a Laplace egy időjelet s-beli függvénnyé.

Válassz egy sorozatot és nézd, ahogy a tagok összeadódnak!

z=1.5

x[k] sorozat x[k]·z⁻ᵏ tagok Σ akkumulált → X(z)

X(z) = Σₖ₌₀∞ x[k]·z⁻ᵏ — hatványsor z⁻¹-ben, konvergencia: |z| > |pólus|

A z⁻¹ szorzó jelentése: egy mintavételi idővel késleltetés. Ez a z-transzformáció legfontosabb tulajdonsága!

Késleltetés

x[k] eredeti z⁻ⁿ·X(z) → x[k−n] késleltetett

x[k] ↔ X(z) ⟹ x[k−n] ↔ z⁻ⁿ · X(z) — n lépés késleltetés = z⁻ⁿ szorzás

Kattints a z-síkra, hogy pólusokat és zérusokat helyezz el! Az egységkör belseje = stabilitás.

✕ Pólusok ○ Zérusok Stabil (|z|<1) h[k] impulzusválasz

A legfontosabb z-transzformációs párok animálva: lásd a sorozatot és a pólusokat egyszerre.

a=0.85

Ω=π/4

x[k] sorozat ✕ Pólusok ○ Zérusok

Húzd a pólust a z-síkon: az egységkörön belül stabil, kívül instabil, rajta határeset.

Stabil |z|<1 Határeset |z|=1 Instabil |z|>1

pᵏ: ha |p|<1 → 0-hoz tart (stabil) · |p|=1 → konstans amplitúdó · |p|>1 → végtelenbe tart (instabil)

H(z)-t az egységkörön (z=eʲᶿ) kiértékelve kapjuk a frekvenciaválaszt — pont mint a Laplace Bode-diagramja!

p=0.6

Ω₀=π/3

|H(eʲᶿ)| amplitúdó ∠H(eʲᶿ) fázis Pont az egységkörön

z = eˢᵀ — az s-sík bal félsíkja az egységkör belsejébe, a képzetes tengely az egységkörre képeződik.

Tₛ=0.2

s-sík stabil (σ<0) z-sík stabil (|z|<1) Leképezett pólusok jω tengely → egységkör

z = eˢᵀˢ → σ<0 ⟹ |z|<1 · σ=0 ⟹ |z|=1 · σ>0 ⟹ |z|>1